傅里叶级数展开公式是什么？

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 ，如果能碰巧解决你现在面临的问题
，希望能够帮助到您 。

傅里叶级数展开公式如下：

傅里叶级数像三角波 ，矩形波
 ，梯形波这种波形不连续
，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况
 。所以 ，在这种情况下 ，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形

，可以很好的优化模型
。

傅里叶展开式收敛性判别

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数  ，有很多种判别条件可用于判断收敛性 。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性
 。

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛
。狄利克雷条件如下：在定义区间上
，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中
，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上 ，x(t)只能有有限个第一类间断点 。

以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数 。举例就是:

这种由很多项相加的形式就是级数

。

对于函数就是如下这个形式：

在工程中
 ，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他
，或者原函数无法很好的去分析波的特征  。

所以我们需要找到一个函数 去近似原函数  ，而且这个 有很好的特性
 ，方便去做分析
。

法国数学家傅里叶就发现
，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
。

看一个动图来理解下这句话 。

右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的
 。

下面给出傅里叶级数的数学公式
。

原函数 就由无数个 组成的 。这个公式理解起来也很简单 ， 是个常数项
 ，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动
，想要让其脱离0点 ，就必须加入 这个偏移项 ，当然你也可以理解为 
 。

便是无数个sin和cos的组合

，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小
。 就相当于动图中的 前的系数1  ，3
，5
，7代表着频率 ，也就是圆转一圈用的速度 。so
 ，是不是很容易理解
 。

代表这频率
，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期 ， 的作用就是构建一个周期为 的波形
 ，只是随着 的增大
，波的频率越来越高
。例如 都是周期 的函数 ，只是 的最小周期不在是 
 ，所以其频率就变大了 。

这里强调下
，傅里叶级数是针对周期函数的 ，对于非周期的函数就是傅里叶变换了 。

很多博主在解读傅里叶级数的时候 ，上来就说时域

，频阈，复频域  ，欧拉公式

。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式
，本质都是一样的。先理解了上面的公式
，以此为基础进行展开 ，会更加容易理解  。

还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 
 ， 样子已经有了：

我们只需要求出 就可以得到 
。

所以这里有个前提
，我们在看下需要求解的波形：

对于原函数 是什么样的我们并不知道 ，但我们知道 在每个x处的取值
 ，毕竟这个波是我们自己采样得到的
。

所以求解 最简单得方法就是
，构建n个 方程等式 ，求解一个n元一次方程
 ，如上面所示 。这里 是常数
， 得数量由自己定义
 。

当然上面是小学生的解法 ，大家不要当真
。

在给大家介绍傅里叶级数的解之前 ，我们先看下周期为 的傅里叶级数

，令 带入：

其对应的解为：

想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性  ，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始 。

什么是正交？在线性代数中
，正交就是两个向量垂直
，如下图(A)
 。

和 正交 ，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0

而在函数上的正交就表现为积分的形式:

其中 就是 的内积
 ，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交
。

回到傅里叶级数
，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合 。

{ }

任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：

关于其证明网上有很多 ，这里就不细说了
 。

下面看如何利用上面的性质来接

将函数两边同时积分

将 移到前面
。

其中 可以看成 ,根据前面的正交性
 ，得到这两项都等于0
，于是上面的函数就等于

于是:

下面求解下

将两边乘上  ，然后两边同时积分

将 移到前面 。

同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0
 ，其他的也会为0
，所以：

在正交性那块我给出了  ，所以:

关于 求法是一样得 ，这里就不细说了 。

上面便是傅里叶级数得求解过程

，但是这里我们定义得频率是

。

如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换  ，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)

中会详细介绍
，希望以上得内容能帮到你。

关于“傅里叶级数展开公式是什么？
 ”这个话题的介绍
，今天小编就给大家分享完了 ，如果对你有所帮助请保持对本站的关注！